数论基础阅读笔记与习题解答之一:自然数与整数

《数论基础》(elements of number theory)是数学家john stillwell的一本入门性的数论书籍,不同于一般的初等数论书籍,这本书从代数数论的角度介绍了一些初等数论的问题,可为我们进一步学习代数数论打下基础,也有利于从更高的观点看待初等数论问题,提供不同以往的见解。在这一系列文章,我以章节为单位整理了阅读笔记,也对课后习题做了解答。这些内容主要是供我自己日后参考之用,不过如果能对其它感兴趣的读者有所帮助当然更好。以下是第一章的习题答案:

一、自然数

1.1.1 对于\(0\le n\le39\)以上公式都可以产生素数

1.1.2 对于\(n=40\)\(40^2+40+41=40(40+1)+41\)显然不是一个素数

1.1.3 根据1.1.2,显然40是这个公式不能产生素数的最小值

二、归纳法

1.2.1 重复使用题目的算法可得\(\frac{9}{11} =\frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{15} +\frac{1}{660}\)

1.2.2 据题意有:

$$ \frac{b}{a} -\frac{1}{q+1} =\frac{( q+1) b-a}{a( q+1)} =\frac{b-( a-bq)}{a( q+1)} $$

\(a/b<1/q\Rightarrow bq<a\Rightarrow (a-bq)>0\),则\(b'=b-(a-bq)<b\)

三、整数

1.3.1 据题意有\(6i+9j+20k=3(2i+3j)+20k\),假设其为\(43\),则分情况讨论:

1.3.2 据题意有:

$$ \begin{aligned} 44 & =6*1+9*2+20*1=6+18+20\\ 45 & =6*6+9*1+20*0=36+9+0\\ 46 & =6*1+9*0+20*2=6+0+40\\ 47 & =6*3+9*1+20*1=18+9+20\\ 48 & =6*5+9*2+20*0=30+18+0\\ 49 & =6*0+9*1+20*2=0+9+40 \end{aligned} $$

1.3.3 我们可以把以上面的六个等式每个左右加上\(6\),从而得到接下来的六个数字,使用同样的方法,我们可以得到全体自然数。

1.3.4 显然\(m=9,n=-4\)是一个解,有\(9*9-20*4=1\)

1.3.5 显然\(9*9n-20*4n=81n-80n=n\)可以得到全体自然数。

1.3.6 显然有\(6m+9n=3(2m+3n)\)从而必须是\(3\)的倍数,所以不能表示全体整数。因此,要想表示全体整数,系数的最大公约数必须是一。

四、除法与余数

1.4.1 显然有\(12345678=3704*333+246\)

1.4.2

五、二进制

1.5.1 显然有\(2^p-1=2^p-2+1=2*(2^{p-1}-1)+1\),则每此次除以二的余数都是\(1\),则二进制表示的各位数字都是\(1\)。题中所示的四个二进制数字对应的梅森素数分别为\(3,7,31,127\)

1.5.2 显然有\(2^{11}-1=2047=23*89\)

1.5.3 假设\(n\)不是素数,则令\(n=pq\),则\(2^n-1=2^{pq}-1\)。又令\(x=2^p\),则\(2^{pq-1}=x^q-1\)。假设我们令\(f(x)=x^q-1\),则显然\(f(1)=0\),也就是说\(x=1\)\(f(x)\)的一个根,则\((x-1)\)应是\(f(x)\)的个因子,也即\((x-1)\)整除\(x^q-1\),即\(2^p-1\)整除\(2^{pq-1}=2^n-1\),故\(2^n-1\)不是一个素数。

1.5.4 不难验证当\(p=2,3,5,7\)时,对应的四个完全数是\([6,28,496,8128]\),二进制表示如下:

$$ \begin{array}{ r l } 6 & =4+2=( 110)_{2}\\ 28 & =16+8+4=( 11100)_{2}\\ 496 & =256+128+64+32+16=( 111110000)_{2}\\ 8128 & =4096+2048+1024+512+256+128+64=( 1111111000000)_{2} \end{array} $$

1.5.5 通过观察易知完全数的二进制表示是在\(p\)\(1\)之后接上\((p-1)\)\(0\)

六、丢番图方程

1.6.1 在excel做一个简单验证,结果如下:

微信图片_20210527125445

看最后一列结果,易知以上所有\(z^2-y^2\)都是完全平方数。

1.6.2 显然最后一列数字要不是\(60\)的倍数,要不是\(60\)因子的倍数。

1.6.3 据题意,可验证:

$$ \begin{aligned} x^{2} +y^{2} & =\left(\left( u^{2} -v^{2}\right) w\right)^{2} +( 2uvw)^{2}\\ & =\left( u^{2} -v^{2}\right)^{2} w^{2} +4u^{2} v^{2} w^{2}\\ & =\left( u^{4} -2u^{2} v^{2} +v^{4}\right) w^{2} +4u^{2} v^{2} w^{2}\\ & =u^{4} w^{2} -2u^{2} v^{2} w^{2} +v^{4} w^{2} +4u^{2} v^{2} w^{2}\\ & =u^{4} w^{2} +2u^{2} v^{2} w^{2} +v^{4} w^{2}\\ & =\left( u^{4} +2u^{2} v^{2} +v^{4}\right) w^{2}\\ & =\left(\left( u^{2} +v^{2}\right) w\right)^{2}\\ & =z^{2} \end{aligned} $$

1.6.4 据题意,容易验证:

$$ \begin{array}{ l } u^{2} -v^{2} =3,2uv=4\Rightarrow u=2,v=1\\ u^{2} -v^{2} =5,2uv=12\Rightarrow u=3,v=2\\ u^{2} -v^{2} =7,2uv=24\Rightarrow u=4,v=3\\ u^{2} -v^{2} =15,2uv=8\Rightarrow u=4,v=1 \end{array} $$

七、丢番图弦法

1.7.1 首先可对曲线\(y=\sqrt{(x^3-2)}\)求导,则有:

$$ y'=\frac{1}{2}\left( x^{3} -2\right)^{-1/2} \times 3x^{2} =\frac{3}{2} x^{2}\left( x^{3} -2\right)^{-1/2} $$

代入\(x=3\),可得切线斜率:

$$ k =\frac{3}{2} \times 9\times \frac{1}{\sqrt{27-2}} =\frac{27}{10} $$

此时的纵坐标\(y=5\),则有截距项:

$$ b=5-\frac{27}{10}\times3=\frac{50-27\times3}{10}=-\frac{31}{10} $$

则原曲线在点\((3,5)\)处的切线为:

$$ y=\frac{27}{10} x-\frac{31}{10} $$

1.7.2 为求上述切线与原曲线的交点,我们将切线方程代入原方程,则有:

$$ \left(\frac{27}{10} x-\frac{31}{10}\right)^{2} =x^{3} -2\Rightarrow 100x^{3} -729x^{2} +1674x-1161=0 $$

1.7.3 对上述方程进行因式分解,易得:

$$ 100x^{3} -729x^{2} +1674x-1161=( 100x-29)( x-3)^{2} =0 $$

故显然\(x=29/100\)也是原方程的一个解,对应切线与原曲线的另外一个交点。

1.7.4 则另外原曲线上中另外一个有理点的纵坐标为:

$$ y=\frac{27}{10} \times \frac{29}{100} -\frac{31}{10} =\frac{27\times 29-3100}{1000} =-\frac{2317}{1000} $$

八、高斯整数

1.8.1 根据推论中的公式易得:

微信图片_20210527165308

1.8.2 显然第二组与第三组都出现过。

1.8.3

1.8.4 易知\((2n+1)^2=4n^2+4n+1=4(n^2+n)+1\),则除四的余数为一。

1.8.5 易知\((2n)^2=4n^2\),所以除以四的余数为零。

1.8.6 易知\((2n+1)^2+(2m+1)^2=4(n^2+m^2)+4(n+m)+2\),除以四的余数为\(2\)。因为一个奇数的平方除以四的余数为一,一个偶数的平方除以四的余数为零,余数都不为二,所以显然两个奇数的平方和不可能是一个平方数。