数论基础阅读笔记与习题解答之六:高斯整数

《数论基础》第六章介绍了高斯整数,以下是各节的习题解答:

6.1 \(\mathbb{Z}[i]\)及其范数

6.1.1 要求\(\mathbb{Z}[i]\)的范数为一,则有\(a^2+b^2=1\),显然该方程的整数解只有四种情况:

6.1.2 据题意有\(a^2-2b^2=1\),该方程的整数解都是\(\mathbb{Z}[\sqrt{n}]\)中的单位元。

6.1.3 如果\(n\)不是一个完全平方数,则方程\(a^2-nb^2=1\)有无穷多组整数解,则\(\mathbb{Z}[\sqrt{n}]\)中有无穷多个单位元。

6.2 \(\mathbb{Z}[i]\)\(\mathbb{Z}\)中的素数及整除性

6.2.1 两个定义可以分别表述为:

如果一个高斯整数\(\varpi\)符合定义一,则\(\varpi\)只能表示成为单位元和其自身的乘积,即符合定义二。反之如果一个高斯整数\(\varpi=a+bi\)符合定义二,因为单位元有四个,则可分四种情况:

四种情况下,\(\varpi\)都只能分解为单位元和范数等于期自身范数的高斯整数的乘积,因此符合定义一。

6.2.2 显然有\(N(3)=9\),则如果\(3\)不是一个高斯质数,则其可以表示为两个较小范数的高斯整数的乘积,因为\(9\)\(1\)及其自身以外的因子只有\(3\),则\(N(a+bi)=a^2+b^2=3\),该方程显然没有整数解,即\(3\)不存在范数为\(3\)的高斯整数因子,则\(3\)应是一个高斯素数。

6.2.3 不难验证\(2i=(1+i)^2,-2i=(1-i)^2\),则\(2\)乘以\(\mathbb{Z}[i]\)中的单位元\(i,-i\)是一个平方数。

6.2.4 不难验证\(17=(4+i)(4-i),53=(7+2i)(7-2i)\)

6.3 共轭

6.3.1\(z_1=a_1+b_1i,\bar{z_1}=a_1-b_1i,z_2=a_2+b_2i\),则有:

$$ \begin{aligned} z_{1}\overline{z_{1}} & =( a_{1} +b_{1} i)( a_{1} -b_{1} i) =a_{1}^{2} +b_{1}^{2} =|z_{1} |^{2}\\ \overline{z_{1} +z_{2}} & =( a_{1} +a_{2}) -( b_{1} +b_{2}) i=( a_{1} -b_{1} i) +( a_{2} -b_{2} i) =\overline{z_{1}} +\overline{z_{2}}\\ \overline{z_{1} -z_{2}} & =( a_{1} -a_{2}) -( b_{1} -b_{2}) i=( a_{1} -b_{1} i) -( a_{2} -b_{2} i) =\overline{z_{1}} -\overline{z_{2}}\\ \overline{z_{1} z_{2}} & =( a_{1} a_{2} -b_{1} b_{2}) -( a_{1} b_{2} +a_{2} b_{1}) i=( a_{1} -b_{1} i)( a_{2} -b_{2} i) =\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} \end{aligned} $$

6.3.2

6.3.3

6.3.4\(n_1,n_2\cdots,n_k\equiv1\pmod4\),则有\(n=n_1n_2\cdots n_k\equiv1\pmod{4}\)是一个\(4n+1\)型的数。又因为\(4n\)\((4n+2)\)型整数均为偶数,不可能成为素因子,又\(4n+1\)型整数的乘积仍为\(4n+1\)型,所以当我们对\(4n+3\)型整数进行质因数分解时,其中必有一个素因子为\(4n+3\)型。

6.3.5 据题意有\(p_1,p_2,p_3\cdots,p_k\equiv3\pmod{4}\),则有:

$$ 2p_1p_2\cdots p_k+1\equiv2\times3^k+1\pmod{4} $$

显然有\(3^2=9\equiv1\pmod4\),则有:

所以有\(2p_1p_2\cdots p_k+1\)\(4n+3\)型的。

6.3.6 由6.3.5我们可知\(2p_1p_2\cdots p_k+1\)\(4n+3\)型的,而6.3.4我们可知\(4n+3\)型必有一个\(4n+3\)型 的素因子,设其为\(p\),则\(p\mid(2p_1p_2\cdots p_k+1)\),易知\(p_1,p_2\cdots,p_k\)都不能整除\(2p_1p_2\cdots p_k+1\),则\(p\)是一个\(p_1,p_2,\cdots,p_k\)以外的\(4n+3\)型的素数,显然通过此种方式可以构造无穷多个\(4n+3\)型的素数。

6.4 \(\mathbb{Z}[i]\)中的除法