近代物理科学数学化的数学背景浅析

科学史家埃德温•阿瑟•伯特在其名著《近代物理科学的形而上学基础》中,谈到新天文学之所以出现时,提出了一个有趣的问题。他问道,哥白尼面对着当时激烈的并且很有说服力的哲学、宗教与物理学的反对意见时,为什么仍会坚持提出新天文学?他指出,这可能与哥白尼思想背景中四个特征有关,其中的第三个特征他提到了前哥白尼时代数学进步的重要性,他写道:

第三,通常属于数学史的某些事实在这方面至关重要。它们对我们的研究实在太过重要,我们必须停下来对其进行更仔细的考虑。在刚刚过去的两个世纪里,高等代数已经在很大程度上把人的数学思维从对空间表达的依赖性中解放出来……到了中世纪,数学研究似乎出现了强有力的复兴,同样的假定和方法被视为不理所当然,人们热切的期待能够对自然作更加充分的数学解释……当在15、16世纪开始更广泛地使用代数符号时,数学家当然只能逐渐摆脱思维对几何表示的持续依赖……这种16世纪数学所特有的几何化简对于我们理解哥白尼很重要。它是哥白尼运动相对性学说的一个关键因素。

从中我们可以看出,伯特在这里交相提出了前哥白尼时代数学进展对新天文学的两重意义。首先,它具有形而上学意义,如使人们相信对“自然进行更加充分的数学解释”,由数学相对性原理使哥白尼认识到天体运动的相对性,这些都可以看作当时的数学进步所导致主流哲学思潮的改变,为近代物理科学的数学化做了方法论上的准备。其次,伯特也指出了代数符号的广泛使人们逐渐摆脱思维对几何的依赖,提高了运算效率,降低思维强度,大大推进了新天文学与新物理学的产生与发展。对于第一重意义,我已在《近代物理科学数学化的哲学背景浅析》这篇文章中作了一些分析与探讨,本文将主要分析数学大发展所带来的数学工具与技术进步对科学革命的积极意义,通过对科学革命时期之前与之中的数学工具的进步进行简要梳理,我们认为至少有以下几个进步对科学革命是至关重要的,它们是算术的引入与发展,代数符号体系的发明与进步,解析几何的发明及微积分的发明。下面将分别分析它们对科学革命的促进作用。

一、算术的引入与发展

西罗马帝国灭亡后,欧洲便进入了漫长的中世纪。在中世纪里,基督教在西方的思想、政治及日常生活领域都处于支配地位,教会势力遍及各地,古希腊文明渐被遗忘,只在一些修道院中有极少的保留。在数学方面,欧洲中世纪的数学水平很低,有的只不过是一些非常原始的记数法与少量的算术法则,欧几里德的《几何原本》也只有部分章节流传,其中的有些定理并不准确,准确的定理又没有给出证明。古希腊辉煌的数学成就在中世纪被极大程度上抛弃了。

到了公元11世纪,随着十字军的东征及大翻译运动的开展,欧洲人开始慢慢地接触到古希腊的数学与哲学著作。此时的一些大学中,将算术、几何、天文和音乐列为“四艺”成为低年级学生的必修课,数学的教育与研究有了一些进步,欧几里德的《几何原本》和托勒密的《天文学大成》有了更完整准确的译本。一些学者也开始强调数学对于理解圣经与自然哲学的重要性,“罗吉尔•培根和黑尔斯的亚历山大赞美几何学是可以用来理解神学真理的工具……只有借助几何才能理解其本义,才可能把握更高的精神含义。” 罗伯特•格罗斯泰特主张,“几何学也是正确理解自然哲学所必需的。没有几何学,由线、角和图形所构成的宇宙就不可能被恰当解释。” 这些思想在一定程度上推动了中世纪数学的发展。

中世纪研究数学学者的杰出代表是斐波那契。1202年他写了划时代的并流传很久的《算经》一书,这本书译自一些阿拉伯与希腊文材料,引入了当时的欧洲人较少知道的阿拉伯记数法与印度算法,数字零自此才开始被欧洲人使用,这本书还介绍了印度人用整数、分数、平方根、立方根进行计算的方法,此书产生了广泛影响并改变了数学的面貌。

及到十六世纪中叶,日常生活及科学研究的需要进一步推动了算术的进步。关于这一点,M•克莱因写道:

远涉重洋的地理探险需要人们有更准确的天文知识,同时,把愈来愈精确的观察同新天文学说联系起来的兴趣,要求编制出更好的天文数表,而这又需要更精确的三角函数表。事实上,十六世纪对于代数的兴趣,多数是在制作三角函数表时为解方程和处理恒等式的需要而引起的。日益发展的银行业务和商务活动要求有一个更好的算术……最后,工匠的技术工作,特别是建筑、制造大炮和抛射体运动方面的工作,要求定量的思维。

在这一时期,实数的运算步骤有了改进与推广。在比利时,斯台文在他的《十进制算术》中提倡用十进制小数来书写分数并对它们进行运算,而反对使用六十进制,这在一定程度上简化了数学运算,提高了运算效率。

在此基础上,十六、十七世纪的算术取得了若干重大进展,最突出的莫过于对数的发明。苏格兰人约翰•纳皮尔为简化天文学中球面三角的计算工作,于1594年左右发明了对数。在其1614年的著作《论述对数的奇迹》中,他给出了对数规则表,但并没有给出其构造的方法,只到1619年,在其遗著《作出对数的奇迹》中,他才给出了对数具体原理的解释。与今天将对数运算理解为指数运算的逆运算不同,纳皮尔则通过运动学的方式给出对数的定义的。 之后,有人建议纳皮尔取10作为底数,使一个数的对数就等于该数的那个10的乘幂的幂指数,由于十进制数系,此种对数编制方法具有天然优势,今天的对数即从之发展而来。开普勒高度赞扬纳皮尔,并且自己也构造了一个对数表,后来收入其《鲁道夫数学用表》中 。通过使两数乘积的对数等于它们的对数之和,两数相除的对数等于它们的对数之差,这样,乘法与除法就化为加法与减法,而开方化归为简单的除法,对数的发明大大的减小了运算量,使得以后的数学家在涉及到复杂计算时可以更快更准确的给出具体的结果,这在一定程度上推动了新科学的确立。

二、代数符号体系的发明与进步

早期代数的进步很大程度上源于采用了较为便利与明确的符号体系,正因为此,代数才能成为一门科学。十六世纪,除了丢番图,数学家基本都用文章的方式来表达与证明数学思想,而不会使用符号体系来更加简洁有效的表达数学思想。十六世纪中叶,由于科学的迅速发展,对数学运算的复杂性与准确性的要求日益提升,人们迫切需要一套简明准确的符号体系来提高运算的效率。数学符号及代数由此开始慢慢发展起来。

\(+\)”与“\(-\) ”这两个符号最初是德国人使用的,本用来表示箱子重量的超亏,后由维特曼在1489年的一部算术著作中引用,广泛使用则要等到十七世纪初。“ \(=\)”最早出现在雷科德的英文代数论文《砺智石》中,他说他所知道的最相象的东西两件东西是两根平行线,所以这两根线应该用来表示相等。乘法符号“ \(\times\)”在1631年由奥特雷德首创,莱普尼茨反对使用这个符号,因为它容易与 混淆,从而主张用“ \(\sqcup\)”表示乘法。 除法符号“ \(\div\)”首次出现在瑞士数学家雷恩的著作中。方括号与花括号是大约在1593年由韦达引入,平方根号“\(\sqrt{\ }\) ”由笛卡儿首次采用。“各种不同的表示代数量的幂的方法最后由笛卡儿在1637年发展为近代的指数记号(对正整数幂)。沃利斯与牛顿把这记法加以扩充,以表示根与幂的求逆,他们说明了怎样用分指数与负指数来实现这一目的。”

下表中列出了一些主要数学符号可能的发明人及发明时间:

符号 发明人 引用年份
\(+,-\) [德]维德曼 1489年
\(\times\) [英]奥特雷德 1631年
\(\sqcup\) [法]笛卡儿 1637年
\(\div\) [瑞]雷恩 1659年
\(=\) [英]雷科德 1557年
\((),[],\{\}\) [法]韦达 1593年
\(a^n\) [英]牛顿 1676年
\(\sqrt{}\) [法]笛卡尔 1637年
\(log\) [德]开普勒 1624年
\(\frac{dy}{dx}\) [德]莱普尼茨 1675年
\(\int\) [德]莱普尼茨 1675年
\(a,b,c\)(已知),\(x,y,z\)(未知) 韦达奠基,笛卡儿完成 1637年

数学由算术向代数的巨大变革主要是由数学家韦达发起的,他使用通用符号来表示变量与运算,以取代仅仅词的缩写。以前的学者如欧几里德和亚里斯多德也曾用字母来代替特定的数,但他们并不经常使用这种方法,只是偶尔为之。韦达是第一个有意识地,系统地使用字母的人,他不仅用字母来表示未知量和未知量的乘幂,而且用来表示一般的系数。他的做法是用辅音字母来表示已知量,用元音字母来表示未知量。他称他的符号性代数为logistica spciosa(类的筹算术)以别于logistica numerosa(数的筹算术),他说代数,即所谓的logistica spciosa是对事物的类或形式进行运算,而算术,logistica numerosa是跟具体的数打交道,藉此他就规定了算术与代数的分界。 这样代数就变成了研究一般类型的形式与方程的学问,因为对一般情形的研究包括了无穷多的特殊情形,如对于二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\ne0)\),只要给出了其解的一般形式,就完全给出了所有二次方程的解法。之后笛卡儿对韦达的字母表示法进行了改进,他用字母表中的前面的字母表示已知量,用末后的一些字母表示未知量,这成为了现在的习惯用法。在谈到十六、十七世纪代数符号体系的改进的巨大威力时,T•丹齐克这样写道:

首先,字母将代数从字句的束缚中解放出来,我的意思不但是说,如果不用字母记号,则任何普遍陈述都成了一大串累赘的语言,会受到人类语言种种含糊与误解的影响,这一点已经相当重要了;但是更重要的是,文字有因若干世纪的连续使用而连带的种种禁忌,字母则完全没有。丢番图使用的arithmos,菲波那契的res,都是有先入之见的概念;它们意味着一个整数。但是韦达的A与我们现在所使用\(x\)是不依附于其所假定代表的具体事物而独立存在的。符号有一种他所象征的事物的意义:这就是符号不仅仅是一种形式的缘故。其次,字母可使人们在变换文字表达式时便于操作,从而把任何陈述变成许多等价的形式,正因为具有这种变形的能力,代数超出了方便的速记的水平。

总而言之,代数符号体系的发明与改进使计算者可以摆脱自然语言的繁琐与不精确,从而更加便利与精确的进行推理与计算,提高了运算效率。其次,恰当的选择符号,可以在某种程度上将复杂的数学思维变成程序化的对符号的操作(这一点在微积分表现尤为明显),从而大大节约思维量,使数学家可以专心的去进行创造性的工作,而不用在具体运算上耗费过多的时间。最后,代数符号体系的完善也在数学史上代数与几何地位转换的过程起了重要作用,符号体系的发展使得代数在日常生活及科学研究中显示出巨大的威力,传统几何学则由于其对几何图形的依赖和证明方法的缺乏一般性限制了他在新科学中作用的发挥,这成为导致解析几何产生的一个重要原因,代数与解析几何一起,使得数学的抽象性上升到新的高度,为新科学的诞生立下了汗马功劳。

三、解析几何的发明

解析几何是近代数学史上最伟大的发明之一,它将代数与几何紧密联系起来,使得我们可以用代数方程去研究曲线曲面的性质与结构,也可以反过来给复杂的代数及微积分的定理与运算以直观的几何解释,这种密切的互动推动了几何与代数的发展。更为重要的是,解析几何在微积分的发明(尤其在莱普尼茨那儿)与推广中起了重要作用,而后者为新科学提供了极为有力的计算工具,从而使得如开普勒,牛顿,莱普尼茨等可以解决众多长期以来悬而未决的科学问题。总之,解析几何与新科学一起,通过对古希腊传统的背离,构造了一个数学化的新世界。

解析几何的出现与当时科学界的需要和对方法论的兴趣有紧密联系。费马为解决他在作曲线的切线、计算最大值与最小值时发现代数形式的几何是必需的,此外,在其《平面与立体的轨迹引论》中,他说要给出一个研究有关曲线问题的普遍方法。而对于笛卡尔,由于其对光学,特别对于透镜的设计感兴趣,他使用解析几何的方法来解决某些光学问题,发现了光学中折射定律。同时,笛卡尔也强调代数应用于几何的方法论意义,M•克莱因评论道:

[笛卡尔]对于下述事实,深感不安:欧氏几何中每一证明,总是要求某种新的、往往是奇巧的想法,他明白地批评希腊人的几何过于抽象,而且过多地依赖于图形,以至“它只能使人在想象力大大疲乏的情况下,去练习理解力。”……他因此主张采取代数和几何中一切最好的东西,互相以长补短。事实上,他所着手开发的,是把代数应用到几何上去。他完全看到代数的力量,看到它在提供广泛的方法论方面,高出希腊人的几何方法。他同时强调代数的一般性,以及它把推理程度机械化和把解题工作减小的价值。他看到代数具有作为一门普遍科学方法的潜力,他把代数应用到几何的产物,正是他的《几何》一书。

事实上,解析几何所带来的变革远超其发明者的期望。只要能将特定的几何问题转化为代数问题,则在代数的帮助下,就可以迅速的证明几何学上的定理,并且这个证明过程通常是一般性的,可以解决一类几何问题,而不用像传统几何那样对于每个几何问题给出不同的证明方法。此外,由于科学革命时期主要的天文学与物理学问题是基本都可以转化成一些曲线或曲面的问题,而这些问题通过代数可以得到更为迅速的解决。最重要的是,微积分在解析几何的基础上得以产生。

四、微积分的发明

微积分的创立主要是为了解决十六,十七世纪主要的科学问题的,主要有四类问题 :

第一类是已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式时,求物体在任意时刻的速度与加速度;挨过来,已知物体的加速度表为时间的函数的公式,求速度与距离,这一类问题来源于运动学,因为我们无法用传统的除法与乘法来计算变速运动条件下的瞬时速度与位移。第二种类型是求曲线的切线,这一问题既是纯粹几何学问题,也来源于当时光学研究与透镜设计的需求,对于复杂曲线,传统的确定切线的方法不再适用了。第三类问题是求函数的最大值与最小值的问题。如需要计算发射角为多少时,炮弹的射程最远,还有需要计算行星处于远日点与近日点时离太阳的距离。第四类问题是求曲线长,曲线围成的面积,曲面围成的体积与物体的重心,及一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力等等。这些问题中的一些曾被之前的数学家用特殊而巧妙的方法解决过 ,但由于这些方法缺乏一般性,数学家迫切需要一种更加普遍的方法来解决类似的求和问题。

在此种背景下,微积分应运而生,牛顿与莱普尼茨在微积分的诞生过程中做出突出贡献。考虑到莱普尼茨未对新物理学有直接贡献,我们这儿只讨论牛顿。

牛顿在剑桥时是伊萨克•巴罗的学生,并且受到了他很深的影响,巴罗的几何学讲义就是由他协助出版的,巴罗的求曲线切线的方法的技巧也为牛顿熟知。此外,“牛顿承认他在分析与流数方面的第一次发现,是受了沃利斯的《无限算术》的启发。” 在1665-1666牛顿住在乡间老家时已经掌握了微积分的基本方法,但他并没有立即发表。牛顿主要从运动学的角度来考虑微积分,在1736年发表的《流数法与无穷级数》中,牛顿把变量看成是由点、线、面的连续运动所生成的,而不是无限小单元的集合。他称变化率为流数,在字母上加一点来表示,称变化的量为流量,即如果 与 是流量,其流数就是 与 。在《流数法》中,牛顿清楚的说明了微积分的基本问题:已知流量求流数及已知流数求流量。在另一部著作《运用无限多项方程的分析》中,牛顿给出了求曲线下面积的新方法,他假定有一条曲线并且已知曲线下面积为\(z=ax^m\),其中\(m\)是整数或分数,他把\(x\)的无限小的增量叫做\(x\)的瞬,并用\(o\)来表示。则由曲线、\(x\)轴、\(y\)轴和\(x+o\)处的直线围成的面积,他用\(z+oy\)来表示,其中\(oy\)是面积的瞬,那么:

$$ z+oy=a(x+o)^m $$

将等式右边用二项式定理展开,当\(m\)是分数时,得到一个无穷级数,将两式相减,再用 除方程的两边,略去仍然含有\(o\)的项,就得到:

$$ y=max^{m-1} $$

此式的含义可以解释为面积在任意\(x\)点的变化率是曲线在\(x\)处的\(y\)值,反过来,如果曲线是\(y=max^{m-1}\) ,那么,在它的下面的面积是\(z=ax^m\)。在这里,牛顿实际上证明了求变化率与求面积互为逆运算,虽然牛顿的前驱也在特殊的例子中也模糊地预见了这个事实,但牛顿看出它是普遍实用的,并将其作为微积分的基本定理,将微分与积分紧密联系起来。

牛顿将其在微积分的发现应用于他的物理学并获得了丰硕的结果。虽然在《自然哲学的数学原理》中,牛顿用传统几何学的方式来表述与证明定理,“然而在其未出版的《朴次茅斯论文集》中,他用分析的方法找出了一些定理。这此论文说明,除了能归结到的几何的以外,他也分析地获得了一些结果。” 如他对于均匀球体的引力中心位于其球心的证明,是在他完善了积分运算后才得到最终证明的。

总之,微积分的发明使得科学家发现,之前提到的四类问题实际上是一类问题,并且都可以统一用新发明的数学工具加以简单方便的解决,新的数学工具为科学家解开自然之迷提供了有力武器,并最终导致了新物理学的诞生。

五、结语

近代物理科学的数学化并不是建立在哲学思辨上的空中楼阁,它也需要数学工具的改进。科学革命时期伟大的科学家们不仅在哲学上富有创见,勇于革新,而且能够通过在具体研究中不断发明与改进数学工具来实现与证明他们的哲学创见,正是这两者的有力结合推动了科学革命的进程,只有从这双重维度出发,才能达到对近代物理科学数学化的全面理解。

在近代物理科学数学化的进程中所产生出的新数学工具,在之后的历史进程中进一步的推动了物理学、化学、生物学及至经济学等多门科学的数学化,微积分等数学工具广泛地运用到多门新兴科学中,为学科特定问题的数学建模与解答提供了极好的借鉴。不仅如此,数学的发展也促进了技术的进步,今日之科技成果极少有不使用数学而能获得的。但自然的数学化这一历史进程的消极后果也被越来越多的提及,好用的工具常常难以避免被误用,有人认为数学化及其所承载的形而上学预设应该很大程度上为现代性中科学的世界与生活的世界的疏离负责,现代哲学在一定程度上可以看作是人类在一个无法背弃的科学世界中努力去寻求价值与意义的尝试,这种尝试并不成功,但仍然值得继续尝试,对于数学化进程的本质的更加深入的理解可能会带来某种启发。

六、参考文献

  1. 埃德温•阿瑟•伯特,《近代物理科学的形而上学基础》,张卜天译,湖南科学技术出版社2012年版
  2. 格兰特,《近代科学在中世纪的基础》,张卜天译,湖南科学技术出版社2010年版
  3. 莫里斯•克莱因,《古今数学思想》第一、二卷,邓东皋等译,上海科学技术出版社2002年版
  4. 亚•沃尔夫,《十六、十七世纪的科学、技术与哲学史》,周昌忠等译,商务印书馆1997年版
  5. 徐品方、张红著,《数学符号史》,科学出版社2006年版
  6. T•丹齐克,《数,科学的语言》,苏仲湘译,上海教育出版社2000年版
  7. 卡尔•B•波耶,《微积分概念发展史》,唐生译,复旦大学出版社2007年版